2021年重庆市九龙坡区育才中学中考数学模拟试卷(二)(含答案解析)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列数中，是无理数的有（ ） A．0.1 【答案】D 【分析】

无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】

1解：0.1，，0是有理数；

31B．

3C．0

D．

π是无理数． 故选：D． 【点睛】

本题考查的是无理数的概念，解答此类问题时一定要注意π是无理数． 2．小友家阳台上有一个如图所示的移动台阶，它的主视图是（ ）

A．【答案】B 【分析】

B． C． D．

根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】

从正面看是三个台阶，如图所示：

故选B． 【点睛】

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本题考查了简单几何体的三视图，熟知从正面看得到的图形是主视图是解决问题的关键.

3．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是( )

A．50° 【答案】C 【分析】

B．70° C．80° D．110°

根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD是∠BAC的平分线，进而可得∠BAC的度数，再根据补角定义可得答案． 【详解】 因为a∥b，

所以∠1=∠BAD=50°， 因为AD是∠BAC的平分线， 所以∠BAC=2∠BAD=100°， -∠BAC=180°-100°=80°. 所以∠2=180°故本题正确答案为C. 【点睛】

本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等． 4．BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°如图，，则∠B的度数是（ ）

A．58° 【答案】A 【分析】

B．60° C．64° D．68°

根据OAOC，根据等边对等角得到COAC32,根据BC是直径，得到

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CAB90,根据直角三角形的性质即可求得B的度数.

【详解】

OA,OC均为半径，

OAOC， COAC32,

BC是直径，

CAB90,

在ABC中，B90C58. 故选A. 【点睛】

本题考查圆周角的性质及等腰三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

5．已知整数m满足38m10，则m的值为（ ） A．2 【答案】B 【分析】

本题从10的整数大小范围出发，然后确定m的大小． 【详解】

解：∵38=2，3104，38m10， ∴2＜m≤3． ∵m是整数， ∴m=3， 故选：B． 【点睛】

本题考查了估算无理数的大小问题，本题从估算10的大小出发，很容易求出m的值．

B．3

C．4

D．5

OB上，OE，6．如图，在AOB中，尺规作图如下：在射线OA、分别截取OD、使ODOE；

1分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点C；作射线OC，

2连结CE、CD.下列结论不一定成立的是( ) ．．．

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A．OE EC

【答案】A 【分析】

B．CECD D．ECODCO

C．OECODC根据题意可利用SSS判定△OEC≌△ODC，然后根据全等三角形的性质判断即可． 【详解】

解：根据题意，得：OE=OD，CE=CD，OC=OC，∴△OEC≌△ODC（SSS）， ∴OECODC，ECODCO，∴B、C、D三项是正确的，而OE EC不一定成立． 故选 ：A． 【点睛】

本题考查的是角平分线的尺规作图和全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握基本知识是关键．

7．在平面直角坐标系中，OAB各顶点的坐标分别为：O0,0，A1,2，B0,3，以

O为位似中心，OA'B'与OAB位似，若B点的对应点B'的坐标为（0，－6），则A点

的对应点A'坐标为（ ） A．2,4 【答案】A 【分析】

利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标． 【详解】

解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，-6），

∴OB：OB'=1：2=OA：OA'， ∵A（1，2）， ∴A'（-2，-4）， 故选：A．

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B．4,2 C．1,4 D．1,4

【点睛】

此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键 8．下列命题，正确的是（ ） A．绝对值等于本身的数为0 B．倒数等于本身的数有0，

C．在不等式的左右两边同时除以同一个正数，不等式的方向不改变 D．若两个数的平方相等，则这两个数也相等 【答案】C 【分析】

根据绝对值、倒数、不等式的性质和平方进行判断即可． 【详解】

解：A、绝对值等于本身的数为非负数，原命题是假命题； B、0没有倒数，原命题是假命题；

C、在不等式的左右两边同时除以同一个正数，不等式的方向不改变，是真命题； D、若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，原命题是假命题； 故选：C． 【点睛】

本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．

9．如图，育才成功学校求真楼AB侧方有一斜坡AC，AC25米且坡比为0.75，在斜坡的顶部C看教学楼楼顶B的仰角为26（AB、CD在同一平面内），则教学楼的高AB为（ ）（tan260.5）

A．10米 【答案】D 【分析】

B．15米 C．20米 D．25米

如图，作CE⊥AB于E，作CH∥AB．在Rt△ACH中，求出AH，CH，再在Rt△BCE中求出BE即可． 【详解】

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解：如图，作CE⊥AB于E，作CH∥AB．

在Rt△ACH中，AC=25米，CH：AH=0.75， ∴CH=15（米），AH=20（米）， ∵四边形AECH是矩形，

∴AE=CH=15（米），CE=AH=20（米），

在Rt△BCE中，BE=CE•tan26°=20×0.5≈10（米）， ∴AB=BE+AE=25（米）， 故选：D． 【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

10．已知关于x的分式方程

1ax310有整数解，且关于x的不等式组2xx24x3x1有且只有3个负整数解，则符合条件的所有整数a的个数为（ ） x1a2x2A．1 【答案】A 【分析】

表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有3个整数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值即可． 【详解】

解：分式方程去分母得：1-ax-3-2+x=0，即（1-a）x=4， 由分式方程有整数解，得到1-a≠0， 解得：x=

4， 1aB．2 C．3 D．4

x32a1不等式组整理得：， 2a1，即3xx33由不等式组有且只有3个整数解，得到12a10， 3试卷第6页，共27页

解得：-1＜a≤2， 由x为整数，且解得：a=0，

则符合条件的所有整数a的个数为1， 故选：A． 【点睛】

此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A、点C在双曲线y＝＞0）上．若直线BC的解析式为y＝2x﹣2，则k的值为（ ）

1142，得到1-a=±1，-2，±4， 1ak（k＞0，xx

A．24 【答案】C 【分析】

B．12 C．6 D．4

B作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，过点A、可证明△ABM≌△BNC，得到BN＝AM，BM＝CN，可证明△BOE∽△BNC，得到BN＝2CN，设C(4+2a，a)，则B(4﹣a，2a)，得到k＝(4+2a)•a＝(4﹣a)•2a，求得a的值，得到C的坐标，从而求得k的值． 【详解】

解：分别过点A、B作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则∠BMA＝∠CNB＝90°， ∵正方形ABCD，

∴∠ABC＝90°，AB＝BC，

∴∠MBA+∠BAM＝90°，∠MBA+∠CBN＝90°， ∴∠BAM＝∠CBN． 在△ABM和△BCN中， BAMCBNAHBBNC， ABBC试卷第7页，共27页

∴△ABM≌△BCN（AAS）， ∴BN＝AM，BM＝CN，

由直线y＝2x﹣2可知B(4，0)，E(0，﹣2)， ∵∠OBE＝∠NBC，∠BOE＝∠BNC＝90°， ∴△BOE∽△BNC， ∴

1OB4BN＝＝＝2， CN2OE∴BN＝2CN，

∴设C(4+2a，a)，则B(4﹣a，2a)， ∵A、C都在y＝

k（k＞0，x＞0）上， x∴k＝(4+2a)•a＝(4﹣a)•2a， 解得a＝1． ∴C(6，1)， ∴k＝6×1＝6， 故选：C．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、正方形的性质，构造三角形全等求得C点坐标是解题的关键．

12．如图，边长2的菱形ABCD中，A60，点M是AD边的中点，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为( )

A．6 B．61 C．7 D．71

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【答案】D 【分析】

过点M作MFDC于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，A60，M为AD中点，得到2MDADCD2，从而得到FDM60，FMD30，进而利用锐角三角函数关系求出FM的长，利用勾股定理求得CM的长，即可得出EC的长． 【详解】

如图所示：过点M作MFDC于点F，

在边长为2的菱形ABCD中，A60，M为AD中点，

2MDADCD2，FDM60，

FMD30，

FD11MD， 2213， 2FMDMcos30MCFM2FC27，

∵AM=ME=1,

ECMCME71．

故选D． 【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及折叠的性质等知识，翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解．

二、填空题 13．计算：12020123___________．

0【答案】23 【分析】

先分别化简各项，再作加减法． 【详解】

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解：12020123

0=1123 =23 故答案为：23． 【点睛】

本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．

14．据探测，马里亚纳海沟的最大水深位于斐查兹海渊，水深约11000米，是地球的最深点，11000用科学记数法表示为___________． 104 【答案】1.1×【分析】

10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要科学记数法的表示形式为a×

看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】

104， 解：11000=1.1×104． 故答案为：1.1×【点睛】

10n的形式，其中1≤|a|此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

15．毕业将近，某校园超市推出A、B、C三种毕业纪念卡，小明和小白随机购买一种，两人恰好选到同一种纪念卡片的概率是___________． 1【答案】

3【分析】

画树状图，共有9个等可能的结果，小明和小白两人恰好选到同一种纪念卡片的结果有3个，再由概率公式求解即可． 【详解】

解：画树状图如图：

共有9个等可能的结果，小明和小白两人恰好选到同一种纪念卡片的结果有3个，

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31∴小明和小白两人恰好选到同一种纪念卡片的概率为，

931故答案为：．

3【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

16．如图，矩形ABCD中，AB1，AD2，以点B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E．则图中阴影部分的面积为___________．

1【答案】2

24【分析】

连接BE．则阴影部分的面积S矩形ABCDSABES扇形BCE，根据题意知BEBC2，则AE1，EBC45，进而求出即可．

【详解】

解：如图，连接BE，

则BEBC2，

在RtABE中，AB1、BE2， AEBE2AB2211

∴ABAE，

ABE45，

ABC90， EBC45

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则阴影部分的面积S矩形ABCDSABES扇形BCE

145(2)2 1211236021， 241故答案为：2.

24【点睛】

此题主要考查了扇形面积求法，本题中能够将不规则图形的面积进行转换成规则图形的面积差是解题的关键．

17．疫情后，重庆万盛“黑山谷”景区某日迎来客流高峰，从索道开始运行前3小时开始，每小时都有a名游客源源不断地涌入候客大厅排队，索道每小时运送b名游客上山，索道运行2小时后，景区调来若干辆汽车和索道一起送游客上山，其中每小时有b名游客乘坐汽车上山，5小时后，在候客大厅排队的游客人数降至1000人，候客大厅排队的游客人数y（人）与游客开始接队后的时间x（小时）之间的关系如图所示，则a___________．

【答案】1600 【分析】

根据题意列方程组即可得到结论． 【详解】

3a2a2b5500解：根据题意得：，

5b5b5a55001000a1600解得：，

b1250∴a=1600， 故答案为：1600． 【点睛】

本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键． 18．重庆双福育才中学农场的工人们要把两片草地的草除掉，大的一片是小的一片的3

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倍，前两天工人们都在大的一片草地上除草，第三天工人们对半分开除草，一半留在大的一片草地上，另一半人到小的一片草地去除草，第三天结束后，大的一片草地恰好除草完毕，小的一片草地还剩下一小块正好是2个人工人2天的工作量．如果工人们每天每人的除草量是相等的，且每天的工作时间相等，则农场有___________名工人． 【答案】12 【分析】

由题可知每人每天除草量是一定的，设农场有x名工人，每人每天除草量为y，根据大的一片是小的一片的3倍，列出方程解答即可． 【详解】

解：设农场有x名工人，每名工人每天除草量为y，依题意有 2xy+0.5xy=3（0.5xy+2×2y）， 2.5xy=1.5xy+12y， xy=12y， x=12．

故农场有12名工人． 故答案为：12． 【点睛】

此题考查了一元一次方程的应用，主要是先明白每人每天除草量是一定的，设农场有x名工人，每人每天除草量为y，根据题意找到关系即可解答．

三、解答题 19．计算：

（1）a1a1a2；

2x1x26x9（2）2． 2x1x1【答案】（1）4a5；（2）【分析】

（1）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项；

（2）先通分，再计算减法，将分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分计算． 【详解】

解：（1）a1a1a2 =a21a244a

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2x1 x3=4a5；

x1x26x9 （2）22x1x1=x1x12x2x1x1x1

x32=

x3x1x1 2x1x3=

x1 x3【点睛】

本题考查了整式和分式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．

20．如图，四边形ACFD是平行四边形，B，E，C，F在一条直线上，已知BECF．

（1）求证：四边形ABED是平行四边形．

（2）若ABC60，且ACBF，AB6，BF5，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】

（1）由平行四边形的性质可得出AD∥CF，AD=CF，由BE=CF得到AD=BE，根据平行四边形的判定即可得到四边形ABED是平行四边形；

（2）由平行四边形的性质得到AD=CF，由含30°角直角三角形的性质求出BC，根据线段的和差求出CF，即可得到AD的长． 【详解】

解：证明：（1）∵四边形ACFD是平行四边形， ∴AD∥CF，AD=CF， ∵B，E，C，F在一条直线上， ∴AD∥BE， ∵BE=CF． ∴AD=BE，

∴四边形ABED是平行四边形； （2）∵四边形ACFD是平行四边形，

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∴AD=CF，

∵∠ABC=60°，且AC⊥BF，AB=6， ∴∠BAC=30°， ∴BC=AB=3， ∵BF=5， ∴CF=BF-BC=2， ∴AD=2． 【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定和性质，含30°直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解决问题的关键．

21．为了了解某射击队中各队员射击水平，从中随机抽取甲、乙两名队员10次射击训练成绩，并制成了如图的统计图（部分）．

12

教练又根据甲、乙两名队员射击成绩绘制了数据分析表： 选手 平均数 中位数 众数 甲 乙 8 a 极差 方差 4 1.2 2.65 8 c b 6和9 d 根据以上信息，请解答下面的问题：

（1）补全队员甲10次成绩频数分布图：并填空a___________，b___________，c___________，d___________；

（2）综合甲、乙两名队员的10次成绩，谁的成绩更好？（说明一条理由即可） （3）如果该射击队共有20名队员，根据甲、乙两名队员的成绩，估计全体队员10次射击总环数．

【答案】（1）分布图见解析，7.5，7.5，8，5；（2）见解析；（3）1550环 【分析】

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（1）根据题意和统计图中的数据，可以分别计算出a、b、c、d的值；

（2）根据表格中的数据，可以得到甲、乙两名队员的10次成绩，谁的成绩更好，然后说出相应的理由即可，注意本题答案不唯一，只要合理即可；

（3）根据表格中的数据，可知甲和乙的平均数，然后即可估计全体队员10次射击总环数，注意平均数取甲或乙的当做总的平均数都可以． 【详解】

解：（1）8101627291108=4， 补全统计图如下：

a=

563789310 =7.5，

10乙组成绩按照从小到大排列是：5，6，6，6，7，8，9，9，9，10， b=（7+8）÷2=7.5，

成绩为8环的有10-1-2-2-1=4（次）， c=8， d=10-5=5，

故答案为：7.5，7.5，8，5；

（2）综合甲、乙两名队员的10次成绩，甲的成绩更好，理由：甲的中位数大于乙的中位数，故甲的成绩更好；

2×10×20=1550（环）（3）（8+7.5）÷，

答：估计全体队员10次射击总环数是1550环． 【点睛】

本题考查频数分布直方图、折线统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，1423，x14，y23，如果xy，那么称这个四位数为“和平数”.例如：因为xy，所以1423是“和平数”.

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（1）直接写出：最小的“和平数”是_________________，最大的“和平数”是_______________；

（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”.

【答案】（1）1001，9999；（2）2754和4848. 【分析】

（1）根据“和平数”的定义，即可得到结论；

（2）设这个“和平数”为1000a+100b+10c+d，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8；d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7，②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论； 【详解】

解：（1）根据题意，最小的“和平数”为1001，最大的“和平数”为9999； 故答案为1001，9999；

（2）设这个“和平数”为：1000a+100b+10c+d， 则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，k为整数， ∴2c+a=12k，

即a=2，4，6，8，12（舍去），16（舍去）， 当a=2，d=4时，2（c+1）=12k， 可知：c+1=6k，且a+b=c+d， ∴c=5，b=7；

当a=4，d=8时，2（c+2）=12k， 可知：c+2=6k，且a+b=c+d， ∴c=4，b=8；

综上所述：这个数为：2754和4848. 【点睛】

本题考查了新定义的应用，正确的理解新概念“和平数”是解题的关键．

23．已知函数yax2xb（a，b为常数）．当x3时，y0，当x0时，y1，请对该函数及其图象进行探究：

（1）a___________，b___________；

（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．

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（3）已知函数yx24x5的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式

ax2xb≥x24x5的解集．

【答案】（1）2，5；（2）见解析；（3）x1或x【分析】

157 2a323b0（1）由题意得：，即可求解；

2ab1（2）由（1）知函数的表达式为y2|x2|x5，当x2时，y2|x2|x53x9，当x2时，y2|x2|x5x1，根据函数表达式画出函数图象，即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】

a323b0a2解：（1）由题意得：，解得，

b52ab1故答案为2，5；

（2）由（1）知函数的表达式为y2|x2|x5，

当x2时，y2|x2|x53x9，当x2时，y2|x2|x5x1； 根据函数表达式画出函数图象如下：

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从图象看，当x2时，y随x的增大而增大，当x2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；

（3）从图象看两个函数交于点A、B(1,0)，

联立y3x9和yx24x5得：3x9x24x5，解得x即点A的横坐标为157， 2157． 2157（负值已舍去）， 2从函数图象看，不等式a|x2|xbx24x5的解集为x1或x【点睛】

本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图像的方式来求解不等式，正确画出函数图象是本题解题的关键．

24．每年6月18日，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动，甲卖家的A商品成本为600元，在标价1000元的基础上打8折销售．

（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？ （2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为，乙卖家也销售A商品，其成本标价与甲卖家一致，以前每天可售出50件，现乙卖家先将标价提高了原标价的0.2m倍，再大幅降价250m元，使得A商品在6月18日当天售出的数

4量增加到原来售出数量的m倍，这样一天的利润达到了50000元，求m的值．

3【答案】（1）降价80元；（2）3 【分析】

（1）设降价x元，根据利润=售价-成本结合利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；

（2）根据利润=每件利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出

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m的值，再结合销售数量为整数，即可得出结论． 【详解】

解：（1）设降价x元，

0.8-x-600≥600×20%， 依题意得：1000×解得：x≤80．

答：最多降价80元，才能使利润率不低于20%．

450×m =50000， （2）依题意得：[1000（1+0.2m）-250m-600]×

3整理得：m2-8m+15=0， 解得：m1=3，m2=5，

4当m=3时，50×m=200（件），符合题意；

341000当m=5时，50×m =（件），不为整数，舍去．

33答：m的值为3． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

25．若直线y2x4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数yax23xc的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x3． 2

（1）求二次函数的解析式；

（2）过点C作直线CE//AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；

（3）在（2）的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x轴

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于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得MFQCAO45，求点M的坐标．

【答案】（1）yx23x4；（2）最大面积为【分析】

（1）先由直线y2x4求出点A的坐标，再由点A在抛物线上和抛物线的对称轴为直线x3列方程组求出a、c的值； 2255213349，Q(，)；（3）(，)或(，25)

2162424（2）根据直线y2x4求出点B的坐标，根据（1）中求得的抛物线的解析式求出点

C的坐标，ABP的面积等于ABC的面积且为定值，设点Q的横坐标为x，过点Q分

别作x轴、y轴的垂线，用含x的代数表示ABQ的面积，再根据二次函数的性质求出 当ABQ的面积最大时的x值，进而求出四边形APBQ面积的最大值及此时点Q的坐标；（3）通过计算，得出GEGF，可见GFQ45．当点M在直线EF下方，则只要作出GFMCAO，则MFQCAO．可通过求EQ的解析式的方法求得点F的坐标，再求MG的长，从而得到点M的坐标；当点M在直线EF的上方，作点M关于直线EF的对称点J，求直线FJ的解析式，再求出另一点M的坐标． 【详解】

解：（1）由直线y2x4与y轴交于点A，得A(0,4)， 又抛物线经过点A且对称轴为直线x则c4，由33，得a1， 2a23， 2二次函数的解析式为yx23x4．

（2）如图1，作QHAB于点H，QN//y轴交直线AB于点N． 设点Q(x,x23x4)，则N(x,2x4)；

当y0时，由x23x40得，x11，x24，

C(1,0)，D(4,0)； 由2x40，得x2，

B(2,0)，

AB224225．

HNQOAB，

HQOB25， QNAB255555QN(x23x42x4)(x25x)， 555HQ试卷第21页，共27页

由CE//AB，可得SABPSABC346，

S四边形APBQSABQSABP

121525(x25x)6 25x25x6

549(x)2，

24当x552149 时，四边形APBQ的面积最大，四边形APBQ的最大面积为，此时Q(，)．

4242

（3）存在．

如图2，由yx23x4(x)23221325525，得E(，)，又Q(，)， 424243kb2设直线EF的解析式为ykxb，则5kb2F(25k14，解得31， 21b443132531，0)，GFGE， 4424EGF是等腰直角三角形．

若点M在直线EF下方，当

MGCO1时，则GFMCAO， FGAO412525MFQCAO45，此时MG，

4416253M(，)．

216若点M在直线EF上方，作点M关于直线EF的对称点J，连接EJ，则MEJ是等腰直角三角形，

EJ//x轴．

试卷第22页，共27页

EJEM252575， 41616J(9925，)． 1642599mn164ymxn设直线FJ的解析式为，则， 31mn04m4解得，

n31y4x31，当x33时，y43125，

22此时，M(，25)．

综上所述，点M的坐标为(，

3232253)或(，25)．

216

【点睛】

本题是二次函数综合题，考察了二次函数的图象与性质，还涉及利用函数的关系式表示点的坐标和线段长度的方法以及转化思想等，是一道好题．

26．在ABC和AEF中，AFEABC90，AEFACB30，AE连接EC，点G是EC中点，将AEF绕点A顺时针旋转．

1AC，2

（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB2，连接FG，求FG的长度；

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（2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB3ABGC； 21（3）如图3，若AB3，在AEF旋转过程中，当GBGC最大时，直接写出直线AB，

2AC，BG所围成三角形的面积．

【答案】（1）7；（2）见解析；（3）【分析】

（1）如图1中，过点F作FHAE于H．解直角三角形求出FH，GH，再利用勾股定理求解即可．

（2）如图2中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．证明BAFBMG(SAS)，推出ABFMBG，BFBG，推出FBGABM60，可得BFG是等边三角形，推出BGFG，可得BGEFEG33AECGABCG． 22453 16（3）如图3中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．在MC上取一点D，使得

11DGMD1MDMG，，连接DG，BD．证明MDG∽MGC，推出推出DGCG，

2GCMG22推出GBCGGBDGBD，推出当B，D，G共线时，BGCG的值最大，最大值为BD的长． 【详解】

解：（1）如图1中，过点F作FHAE于H．

1212

在RtABC中，ACB90，AB2，C30，

AC2AB4，BC3AB23，

AEEC1AC2，EGGC， 2EGCG1，

AFE90，AEF30，

EFAEcos303，

FH313EF，HE3FH，

222试卷第24页，共27页

GHHEEG5， 2325)()27． 22FGFH2HG2(（2）证明：如图2中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．

AMMC，ABC90，

BMAMCM，

AC2AB，

ABAMBM，

BAMAMBABM60， BMC120，

AE2AF，EAF60，

BAF120EAC，

AMMC，EGGC，

GM1AEAF，GM//AE， 2CMGEAC，

BMG120CMG120EACBAF，

BAFBMG(SAS)，

ABFMBG，BFBG， FBGABM60，

BFG是等边三角形，

BGFG，

BGEFEG33AECGABCG． 22（3）如图3中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．在MC上取一点D，使得

1MDMG，连接DG，BD．

2试卷第25页，共27页

同法可证：BAFBMG(SAS)，

ABFMBG，BFBG， FBGABM60，

BFG是等边三角形，

BGFG，

AMCM，EGCG，

MG1AE， 2AB3，ABC90，ACB30，

AC2AB6，AMCM3，

AE31AC3，MG， 2213MG， 24MDMGMD1，DMGGMC， MCMG2MDG∽MGC，

DGMD1， GCMG21DGCG，

21GBCGGBDGBD，

2当B，D，G共线时，BGCG的值最大，最大值为BD的长， 直线AB，AC，BG围成的三角形为ABD，

ADAMDM3315， 441211533453SABD，

24216当GBGC最大时，直线AB，AC，BG所围成三角形的面积为453．

1621【点睛】

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本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

试卷第27页，共27页