一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的) 1. 2 022的倒数是 A.2 022
B.－2 022
C.2 022
1
( )
D.－2 022
( )
1
2. 下列式子正确的是 A.a3·a2=a5
B.(a2)3=a5
C.(ab)2=ab2
D.a3+a2=a5
3. 一个小组10名同学的出生月份(单位：月)如下表所示：
编号 1 月份 2 这组数据(月份)的众数是 A.10
B.8
C.7
D.6
( )
2 6 3 8 4 5 6 7 7 8 8 9 10 8 7 ( )
6 10 4 4. 下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是
A. B. C. D.
5. 截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5 000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿吨。5 000亿用科学记数法表示为
( )
A.50×1010 B.5×1011
C.0.5×1012
D.5×1012
( )
6. 一条古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1=80°，则∠2=
A.20°
B.80°
C.100°
D.120°
3−𝑥≥1,
7. 不等式组{的解集在数轴上表示正确的是
2𝑥>−2
( )
8. 将直线y=2x+1向上平移2个单位，相当于 A.向左平移2个单位 C.向右平移2个单位
B.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位
( )
9. 在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”。当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结(如图)，由细到粗(右细左粗)，满七进一，那么孩子已经出生了
( )
A.1 335天
B.516天
C.435天
D.54天
10. 如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是
( )
A.18
√3πB.18 √3 C.
√3π 9
D.9 √311. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P(m，1)、Q(1，m)(m>0且m≠1)，过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点，连接OP、OQ，则下列结论中成立的有
①点P、Q在反比例函数y=𝑥的图象上； ②△AOB为等腰直角三角形；
𝑚
( )
③0°<∠POQ<90°；
④∠POQ的值随m的增大而增大。 A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
12. 若10x=N，则称x是以10为底N的对数。记作：x=lg N. 例如：102=100，则2=lg 100；100=1，则0=lg 1. 对数运算满足：当M>0，N>0时，lg M+lg N=lg(MN). 例如：lg 3+lg 5=lg 15，则(lg 5)2+lg 5×lg 2+lg 2的值为 A.5
B.2
C.1
D.0
( )
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 13. 函数y=1√𝑥−1的自变量x的取值范围是 .
14. 已知实数x1，x2是方程x2+x－1=0的两根，则x1x2= .
15. 黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1~15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是 . 16. 九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图(如实物图)比较美观，通过手绘(如图)、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD，延长HF与AD相交于点G，则EG≈ DE.(精确到0.001)
17. 菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 .
18. 如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点(与B、C不重合)，将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D'处，连接BD'.给出下列结论： ①△ACD≌△ABD'；
②△ACB∽△ADD'；
③当BD=CD时，△ADD'的面积取得最小值. 其中正确的结论有 (填结论对应的序号).
三、解答题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 19.( 6分)计算：(2 022－π)+(2)+|1－√3|－2sin 60°. 20.( 6分)先化简，再求值：(𝑥+2+适的非负整数。
四、解答题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
21.( 8分)按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩。某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间(A：10 h以上，B：8 h~10 h，C：6 h~8 h，D：6 h以下)进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图。
4𝑥−2
0
1−1
)÷2𝑥3
𝑥−4𝑥+4
，其中x是满足条件x≤2的合
请根据图中的信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共 名；
(2)a= ，b= ； (3)补全条形统计图。
22.( 8分)“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器(如实物图所示)锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3 cm，即PQ=3 cm。开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB=4 cm，弹力大小是100 N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到C处，使弹力大小变为300 N，已知∠PBC=120°，求BC的长。注：弹簧的弹力与形变成正比，即F=k·Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx=x－x0.
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
23.( 9分)“绿水青山就是金山银山”。科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用。已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62 mg。 (1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50 000片树叶。问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克? 24.( 9分)如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG(点C，D，F共线)，动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O。设∠G=θ。
(1)求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分，并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值；
(2)当θ=90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由。
(1)
(2)
六、综合题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
25.( 10分)如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的☉O经过点D，与OA相交于点E。 (1)判断AC与☉O的位置关系，为什么? (2)若BC=3，CD=2。
①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；
②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin 2α与sin α、cos α的关系，并用α=30°给予验证。
3
26.( 10分)如图，抛物线y=2x2－2x－6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C.
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P(m，n)(0 1 备用图 2022年湖南娄底中考数学 （参考答案） 1.C 7.C 1.C 2.A 选项B，(a2)3=a6；选项C，(ab)2=a2b2；选项D，a3与a2不是同类项，不能合并. 3.B 8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8. 4.D 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，故选D. 5.B 5 000亿=5×103×108=5×1011. 6.C 由题图中的平行关系可得∠2等于∠1的补角，故∠2+∠1=180°，所以∠2=100°. 7.C 解不等式3－x≥1，得x≤2， 解不等式2x>－2，得x>－1， 在数轴上表示x≤2和x>－1，易知C选项正确. 8.B 直线y=2x+1向上平移2个单位后所得直线方程为y=2x+1+2，即y=2x+3. 因为y=2x+3=2(x+1)+1， 所以直线y=2x+1向上平移2个单位相当于向左平移了1个单位. 故选B. 9.B 1×73+3×72+3×7+5=516(天)， 故孩子已经出生了516天. 故选B. 10.A 设等边三角形的内心为点O，过点O作OD⊥BC于D，且OD=r， ∵O是△ABC的内心，∴∠OBD=30°， Rt△OBD中，∠OBD=30°，OD=r， ∴OB=2r，BD=√3r，∴BC=2√3r. 2.A 8.B 3.B 9.B 4.D 10.A 5.B 11.D 6.C 12.C 2 ∴S△ABC=3××23r×r=33r， √√2 1 ∵S☉O=πr2， ∴黑色部分与△ABC面积之比为𝑆 1 𝑆2☉𝑂△𝐴𝐵𝐶 =18. 𝑚 √3π11.D 由点P(m，1)和点Q(1，m)都满足反比例函数表达式y=𝑥，所以点P、Q在这个反比例函数的图象上，所以结论①成立. 设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0)，则有 { 𝑘𝑚+𝑏=1,𝑘=−1, 解得{ 𝑘+𝑏=𝑚,𝑏=𝑚+1, ∴y=－x+m+1， 令x=0，得到y=m+1，∴B(0，m+1)， 令y=0，得到x=m+1，∴A(m+1，0)， ∴OA=OB， ∵∠AOB=90°， ∴△AOB为等腰直角三角形. 所以结论②成立. 如图，∠POQ位于第一象限，∴0°<∠POQ<90°，所以结论③成立. 当0 故选C. 13. 答案 x>1 解析 由题意得x－1>0，解得x>1， 故答案为x>1. 14. 答案 －1 解析 由根与系数的关系可知x1x2=𝑎，即x1x2=－1. 15. 答案 715 𝑐 7 解析 15个数字中有8个奇数，7个偶数，所以摸到偶数的概率是15. 16. 答案 0.618 解析 ∵点E是AD的黄金分割点(AE =， 又AE=EG，∴𝐷𝐸=𝐷𝐸≈0.618，∴EG≈0.618DE. 17. 答案 √2 解析 ∵四边形ABCD为菱形， ∴A、C关于BD对称， 过点A作AP⊥BC于点P，交BD于点Q，连接CQ， 则CQ+PQ=AQ+PQ=AP， ∴AP的长即为CQ+PQ的最小值. ∵∠ABC=45°， ∴△ABP为等腰直角三角形， ∵AB=2，∴AP=√2，∴CQ+PQ的最小值为√2. 𝐸𝐺𝐴𝐸 18. 答案 ①②③ 解析 ①由旋转知AD=AD'，∠CAB=∠DAD'， ∴∠CAB－∠BAD=∠DAD'－∠BAD， ∴∠DAC=∠D'AB， 又AB=AC， ∴△ACD≌△ABD'(SAS)，故①正确. ②由①得AD=AD'，∴𝐴𝐷𝐴𝐶 𝐴𝐷′=𝐴𝐵=1， 又∠CAB=∠DAD'， ∴△ACB∽△ADD'，故②正确. ③由②得𝑆△𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶2 𝑆 △𝐴𝐷𝐷′ =𝐴𝐷2， ∴S△ADD'=AD2·𝑆 △𝐴𝐶𝐵𝐴𝐶 2， 即当AD取最小值时，S△ADD'取得最小值， 此时AD为△ABC中BC边上的高， ∵△ABC为等腰三角形， ∴BD=CD，故③正确. 综上，正确的结论为①②③. 19. 解析 原式=1+2+√3－1－2×√32=2. 20. 解析 原式=(𝑥+2)(𝑥−2)+4×(𝑥−2)2 𝑥−2 𝑥3 =𝑥2−4+4𝑥−2×(𝑥−2)2 𝑥3 = 𝑥−2 𝑥 ， ∵x是满足条件x≤2的非负整数，且x≠2，x≠0，∴取x=1， ∴原式=21. 1−21 =－1. 解析 (1)本次调查的学生有10÷5%=200(名). (2)60÷200×100%=30%，100÷200×100%=50%，故a=30，b=50. (3)如图所示. 22. 解析 如图，根据F=k·Δx可得{𝑘=100,解得{ 𝑃𝐶=6. 在Rt△PAB中，∠A=90°，∠PBA=180°－120°=60°，PB=4 cm， ∴AB=2 cm，PA=2√3 cm. 在Rt△PAC中，∠A=90°，PC=6 cm，PA=2√3 cm， ∴AC=2√6 cm， ∴BC=AC－AB=(2√6－2)cm. 100=𝑘(4−3), 300=𝑘(𝑃𝐶−3), 23. 解析 (1)设一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别是x mg、y mg，依题意得 { 𝑥+𝑦=62,𝑥=22, 解得{ 𝑦=40.𝑦=2𝑥−4, 答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别是22 mg、40 mg. (2)50 000×40=2 000 000 mg=2 kg. 答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约是2 kg. 24. 解析 (1)证明：如图，连接CE、BF， 由菱形BCDE和菱形BCFG可知BC=BE，BC=CF，BE∥CF，∴∴四边形BECF是平行四边形， ∴EF与BC相互平分， ∴无论θ为何值，EF与BC相互平分. 当EF⊥BC时，平行四边形BECF是菱形， ∴BF=CF， 在菱形BCFG中，CF=FG=GB， ∴BF=BG=GF， ∴△BGF是等边三角形， ∴θ=60°，即当θ=60°时，EF⊥BC. (2)当θ=90°时，菱形BCFG是正方形， ∴∠ACB+∠ACF=90°， 又∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠ABC=∠ACF， 当EF垂直平分AC时，设垂足为H，则有∠CHF=90°， ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐶𝐻𝐹, 在△ABC和△HCF中，{∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐻𝐶𝐹, 𝐵𝐶=𝐶𝐹,∴△ABC ≌ △HCF，∴AB=CH， ∵EF垂直平分AC，∴AC=2HC，∴AC=2AB， BE=CF. ∴tan∠ABC=2. 25. 解析 (1)直线AC与☉O相切.理由如下： 连接OD，如图， ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠1=∠2， ∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC， ∵∠C=90°，∴∠ODA=90°， ∴AC是☉O的切线. (2)①在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=3，CD=2， ∴BD= 3√52√5√5，∴sin∠DBC=，cos∠DBC=. 255 3 过O作OG⊥BC于点G， ∵OG⊥BC，OD⊥AC，∠C=90°， ∴四边形CDOG是矩形. 设☉O的半径是r，∵BC=3，CD=2， ∴BG=BC－CG=3－r，OG=CD=2， 在Rt△OBG中，OB2=BG2+OG2， ∴r=(3－r)+(2)，解得r=8， ∴sin∠ABC=. 54 2 2 3 3 32 15 ②sin∠ABC=2sin∠DBC·cos∠DBC， 猜测sin 2α=2sin α·cos α， 当α=30°时，sin 60°=2，2sin 30°·cos 30°=2××=， 222∴sin 60°=2sin 30°·cos 30°. 26. √31√3√3解析 (1)A(－2，0)、B(6，0)、C(0，－6). (2)设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0)， 则有{ 𝑏=−6,𝑘=1, 解得{∴y=x－6， 0=6𝑘+𝑏,𝑏=−6, 1 如图，过P点作PQ⊥x轴交BC于Q， 由已知可得P(𝑚,2𝑚2−2𝑚−6)，Q(m，m－6)， ∴S△PBC=2×6×(𝑚−6−2𝑚2+2𝑚+6)=3(−2𝑚2+3𝑚)=－2(m2－6m)=－2(m－3)2+2， ∴当m=3时，S△PBC有最大值，最大值为2. 27 27 1 1 1 3 3 (3)存在. ∵点C到x 轴的距离是6，AE在x轴上，∴无论AE是平行四边形的边，还是对角线，所求平行四边形的顶点F到x 轴的距离都是6. 设抛物线上一点F的横坐标为n，由抛物线y=2x2－2x－6可得2n2－2n－6=6或 12 n－2n－6=－6， 2 1 1 解得n1=0(舍去)，n2=4，n3=2+2√7，n4=2－2√7. ∴符合条件的点F的坐标为(4，－6)、(2+2√7，6)、(2－2√7，6). 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容